MPA S2 algèbre 2015 Responsable : Christine Huyghe 2e partie du Contrôle Continu du 4 mai 2015 Durée 1h30.

Il sera accordé le plus grand soin à la qualité de la rédaction. Sont interdits : les documents, les téléphones portables, les baladeurs, et tout autre objet électronique (calculatrice, ...). Vous pouvez admettre le résultat d’une question afin de traiter les questions suivantes.

1. Première partie 1- Soient ℕ et _{}(ℂ). On note

( ) =  _{}(ℂ)  = 0
( ) = ( ) ℂ[ ]

Montrer que ( ) et ( ) sont des sous-espaces vectoriels de _{}(ℂ) et que

( ) ( )

2- Soit ℂ. On pose = . Calculer ( ). 3- Montrer que

2 ( ( )) ^{2}

4- Soient et deux matrices semblables de _{}(ℂ). Montrer que ( ) et ( )

sont des sous-espaces vectoriels isomorphes. 5- Pour cette question, on prend = 2, deux nombres complexes distincts,

et

= \begin{matrix} & 0 \\ 0 & \end{matrix}

i. Soit ( ). Montrer que est diagonale.

ii. Montrer que ^{2} ( + ) + = 0.

iii. Montrer que ( ) = ( ).

2. Deuxième partie Dans cette partie on fixe = 3 et on se place sur le corps des nombres réels ℝ.

1- Soient

= ; ; ; \begin{matrix}\frac{1}{3} & \frac{5}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{2}{3} & \frac{7}{3} & \frac{4}{3} \\ 1 & 4 & 2 \end{matrix} ; ; ;

et l’endomorphisme associé à dans la base canonique de ℝ^{3}. Calculer une base de ( ).

2- Soit _{1} = ( ^{2} + ). Montrer que

1 ( ) = 0

et que ( _{1}) _{1}. 3- Déterminer une base de ( ). 4- On donne

2 = ; ; ; \begin{matrix}\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix} ; ; ;

Montrer que ( ) _{1} et que

= _{1} ( )

5- Montrer qu’il existe ℝ, tels que est semblable à une matrice du type

= ; ; ; \begin{matrix} & & 0 \\ & & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ; ; ;

tels que ^{2} + = 1. 6- Soit (ℝ^{3}) tel que = . Montrer que ( ( )) ( ) et que

( _{1}) _{1}. 7- Montrer que ( ( )) 5, puis, en utilisant la 3e question de la première

partie, que ( ( )) 5.